Historia de las Matemáticas

Primeras nociones de las matemáticas en la humanidad: Puede afirmarse que el pensamiento matemático fue producto, en gran parte, de dos aptitudes del espíritu humano: la percepción de la pluralidad, que casi pertenece al campo de la sensibilidad, y el poder de establecer correspondencias, emparejamientos, que, sin duda, es propio de la inteligencia. De esta manera, los primeros balbuceos matemáticos, culminaron en el arte de contar y, después, en la aritmética. Los textos matemáticos más antiguos que se poseen proceden de Mesopotamia, son textos cuneiformes que tienen más de 5.000 años de antigüedad. Los Mesopotámicos inventaron un notable sistema de numeración y los métodos fundamentales del álgebra, considerada como el arte de resolver ecuaciones. Se conoce la extensión de su saber aunque se ignora todo de sus métodos. Al parecer sus conocimientos geométricos fueron muy rudimentarios. Más simples todavía fueron los conocimientos aritméticos y geométricos de los egipcios, pese a las afirmaciones de los antiguos griegos y sobre todo si se comparan con los de los Babilonios. El principal texto matemático egipcio encontrado es el Papiro del Rhind que fue escrito bajo el reinado del rey hicso Ekenenre Apopi, hacia el 1600 a. de J.C. De él se deduce que su sistema de numeración era un sistema decimal por yuxtaposición y no parece que supieran contar más allá de un millón. Sabían resolver por tanteo ecuaciones simples de primer grado de la forma "ax=b". En cuanto a la geometría, los problemas ofrecidos en este papiro se refieren a mediciones de superficies o volúmenes y son netamente concretos y vinculados a necesidades prácticas corrientes. En todos los casos se trata de recetas utilitarias y jamás se percibe en ellos un interés teórico. Los fenicios en el primer milenio antes de J.C. crearon un sistema de numeración menos engorroso que el sistema egipcio y que luego sería continuado por los griegos en el siglo III a. de J.C.: el sistema de letras numerales o numerables. Los chinos poseían un libro clásico de cálculo compuesto entre los siglos VI y I a. de J.C. en el cual se utiliza un sistema de numeración que comprende nueve signos diferentes para designar los números 1,2,3,4,5,6,7,8,9 y cuatro signos distintos para 10, 100, 1000 y 10000, más un signo para el cero. Este libro comprende también un saber geométrico elemental. Por último en la India, la matemática, la religión y la filosofía se confunden. El saber geométrico hindú está resumido en el Sutra de Apastamba (un sabio que vivió posiblemente en el siglo V a. de J.C.), este tratado constituye una guía práctica del arquitecto. La Geometría Griega Antes de Euclides, es decir aproximadamente entre 600 y 300 a. de J.C. se conoce el saber matemático griego gracias a un "Prólogo histórico" escrito en el siglo V después de Cristo por el neoplatónico Proclo que se inspiró en una Historia de la Geometría (perdida), escrita por Eudemo de Rodas, discípulo directo de Aristóteles, quien a su vez la conocía a través de una compilación perdida del filósofo Gemino (siglo I a. de J.C.). En este texto se enumeran los nombres de los geómetras griegos, sin precisar la naturaleza exacta de sus descubrimientos que fueron reconstituidos por la crítica erudita de los siglos XIX y XX. Entre los principales geómetras griegos que vivieron durante este período se pueden enumerar los siguientes: - Tales, filósofo jonio de la escuela de Mileto, que importó a Grecia la ciencia geométrica de los egipcios. Los conocimientos de Tales y los de sus contemporáneos se limitaban a algunos principios, propiedades y teoremas rudimentarios no demostrados, como aquel que dice que "los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales"; o "el diámetro divide a un círculo en dos semicírculos iguales"; o bien "las rectas paralelas determinan sobre rectas secantes unos segmentos proporcionales" (proposición conocida como el teorema de Tales). - Pitágoras de Samos que vivió en el siglo V a. de J.C. (si es que llegó a existir) es por tradición el creador de un gran movimiento metafísico moral y religioso y también un científico. El saber pitagórico englobaba todo lo que hoy se conoce como geometría elemental. La propiedad enunciada como el teorema de Pitágoras era ya conocida por egipcios babilónicos e hindúes, aunque fueron los griegos de la escuela pitagórica los que la demostraron de manera general. Los pitagóricos fueron los primeros en analizar la noción de número, y en establecer las relaciones de correspondencia entre la aritmética y la geometría abriendo así el camino para la algebratización de esta ciencia que iba a ser una conquista de los tiempos modernos. - En la época de Platón (hacia finales del siglo V a. de J.C.) hace aparición una tendencia metodológica que se caracterizaba por la necesidad de agrupar y ordenar el conjunto de los conocimientos matemáticos en un todo armonioso y coherente. El problema angustioso es el de los números incalculables, cuyo cuadrado es 2,3,5,7,11,13, ... Teodoro de Cirene y después Teetetes sobre el siglo IV demostraron progresivamente que las raíces de estos números eran cantidades irracionales. Otras novedades de los tiempos platónicos fueron la profundización de la teoría de las probabilidades y el establecimiento, por el astrónomo Eudoxo de Cnido de una teoría de la semejanza. Finalmente los matemáticos de este período abrieron nuevas vías a las investigaciones geométricas como la estereogeometría (geometría del espacio) que se empieza a desarrollar, uno de los grandes éxitos en este aspecto es la determinación por medio de métodos rigurosos de la construcción de polígonos regulares. Por su parte, Euclides transformó el concepto de geometría en lo que hoy se conoce como geometría euclidiana, la matemática euclidiana se presenta, por lo menos en teoría, como un conjunto de deducciones lógicas fundadas en algunos principios simples a los que se da el nombre de hipótesis. Es una ciencia hipoteticodeductiva y hasta mediados del siglo XIX constituyó el modelo de toda teoría matemática. Los principios primeros, fundamentos últimos de todas las demostraciones euclidianas, fueron divididos en tres categorías por los comentadores clásicos: -Las definiciones, que establecen las nociones fundamentales sobre la cuales se va a razonar -Los axiomas, que enuncian verdades indemostrables válidas para todas las ramas de las ciencias -Los postulados, que enuncian verdades que no pueden ser demostradas, pero que el maestro impone a su discípulo. Euclides era profesor de matemáticas en Alejandría durante aproximadamente el siglo III a. de J.C. y redactó un tratado denominado "Los Elementos" en el que se exponían todos los conocimientos de su tiempo en esta materia. Esta obra estaba integrada por trece libros; los libros I al IV tratan de la geometría de la linea recta, de los triángulos, de los polígonos y del círculo; los libros V y VI conciernen a la teoría de las proporciones y de la semejanza; los libros VII, VIII y IX están dedicados a la teoría de los números enteros, el libro X a los números irracionales; los libros XI al XIII están reservados a la geometría del espacio y terminan en la construcción de poliedros regulares inscritos en una esfera. La aportación personal de Euclides en "los Elementos" , sin embargo parece ser limitadas y por lo tanto, a pesar de su fama, no fue un matemático de primerísima línea. Arquímedes fue sin discusión el matemático griego más genial y más grande. Vivió en Siracusa de 287 a 212 a. de J.C y se ha conservado gran parte de su obra escrita en dialecto dorio. La originalidad de este científico aparece de inmediato al leer su tratado sobre el Método. En él Arquímedes insiste sobre el hecho de que puede existir progreso en los conocimientos científicos fuera del método deductivo riguroso ilustrado por Euclides. El análisis puro de carácter euclidiano, escribe Arquímedes, en substancia, no es un buen método de investigación: sólo es respetable en tanto que método de demostración y de exposición. Por ello, propone Arquímedes inclinarse hacia procedimientos físicos de descubrimientos, y buscar seguidamente una exposición lógica y demostrativa de los resultados obtenidos. Esta llamada a la analogía física y no a la intuición o al tanteo, condujo al genial matemático a unos descubrimientos esenciales para la prosecución de la historia de la matemática, en particular en lo que concierne a las magnitudes infinitesimales, en concreto introdujo la noción de cantidad infinitamente pequeña y la de límite. Por otra parte, el nombre de Arquímedes ha quedado vinculado al famoso número p y a su teoría de los cuerpos redondos (cilindro, cono, esfera), en este sentido, el gran matemático expresó que el número p estaba comprendido entre 3+ 10/71 y 3+10/70. En el campo de la aritmética, Arquímedes que había comprendido la insuficiencia de la numeración tradicional, propuso "El arenario", un sistema totalmente nuevo, fundado en un notable análisis de la noción de número que permite escribir cualquier número por grande que sea aunque este número fuera superior "no sólo al número de granos de arena capaz de llenar toda la tierra, sino también a la masa de arena igual en volumen a todo el universo" como declara en "El arenario" ( este título deriva del título latino de la obra de Arquímedes: Arena). Entre los matemáticos griegos del mismo tiempo o posteriores a Arquímedes, el nombre más importante es el de Apolonio de Pérgamo, autor de un Tratado de las cónicas, en siete libros, todos los cuales han llegado hasta nosotros. Contemporáneo de Arquímedes desarrolló con rigor la geometría de la elipse y realizó estudios sobre los lugares geométricos. Después de Apolonio y hasta el siglo V después de Cristo, la geometría griega deja de evolucionar. Sin embargo fuera de la geometría se originaron en Grecia otras dos ramas de las matemáticas, bastante más tardíamente. La primera de ellas es la trigonometría cuyo inventor es el astrónomo Hiparco que vivió en la segunda mitad del siglo II a de C. Combinando la geometría y el arte del cálculo, Hiparco estableció unas tablas de cuerdas que dan las longitudes de dos cuerdas para diferentes valores de los ángulos de un triángulo, elaborando por tanto las primeras tablas trigonométricas de la historia. Después de Hiparco, el Griego Claudio Tolomeo, que vivió en el siglo II d. de C., perfeccionó la trigonometría prosiguiendo los métodos y los teoremas de Hiparco. La segunda rama de las Matemáticas que descubrieron o por lo menos en la que profundizaron los griegos, es el álgebra. En el siglo IV después de Cristo aparece, sin ningún precursor aparente, sin tanteos previos, un sorprendente tratado de trece libros, de los cuales se conocen seis, este tratado es casi perfecto, considerando los conocimientos de la época, y fue titulado "Las aritméticas" (Arithmetica). Su autor, del que no se conoce casi nada es un tal Diofanto, y en esta obra, establece el método de resolución de ecuaciones con una o varias incógntas, de primer o de segundo grado (en el caso general), y proporciona algunos ejemplos de solución de ecuaciones particulares de un grado superior a 2.

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Ramas de la matemática

Cálculo o Análisis.
Rama de las matemáticas que trata con dos operaciones fundamentales, la integración y la diferenciación que se realizan fundamentalmente sobre funciones. Parte de un desarrollo elemental de aspectos puramente teóricos de dichas operaciones y su interrelación y desarrolla reglas y fórmulas que se pueden aplicar al cálculo de funciones estándar, trigonométricas, algebraicas etc, lo que permite su aplicación a innumerables problemas prácticos de geometría, física, química, ingeniería, economía etc. Véase Análisis matemático.

El Análisis es una disciplina matemática que abarca diversas teorías. Las principales son:

Teoría de las funciones. Véase Función matemática.

Cálculo infinitesimal; que a su vez se divide en:

Cálculo Integral. Véase Integral de una función.

Cálculo diferencial. Véase Diferencial de una función.

 

Geometría.
Parte de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras, las disposiciones de los cuerpos en el espacio y sus generalizaciones, aunque sean muy abstractas. Nacida en base a la observación empírica y exigencias prácticas, ha sido la primera disciplina a la que se le ha aplicado rigurosos procedimientos lógicos-deductivos gracias a pensadores de la antigua Grecia, procedimientos que han servido como ejemplo hasta el siglo pasado.

 

Estadística.
Rama de las Matemáticas que se basa en la obtención de los métodos adecuados para obtener conclusiones razonables cuando hay incertidumbre. Esta ciencia tiene como principal objeto aplicar las leyes de la cantidad a hechos sociales para medir su intensidad, deducir las leyes que lo rigen y hacer un predicción próxima. Existen dos ramas muy diferentes dentro de la estadística: la estadística descriptiva y la estadística matemática.

Desde Pitágoras hasta Kröecker, han sido muchos los matemáticos que han pensado que la noción de número entero era la base de su ciencia y, por tanto de todos los fenómenos naturales. Esta noción tan simple, no ha dejado de generalizarse y de afinarse; así la Aritmética ha visto surgir paso a paso los números relativos y los números negativos, los números fraccionarios, irracionales, imaginarios, complejos, hipercomplejos, ideales etc.

Las expresiones analíticas se han originado en el seno del Álgebra (en el sentido clásico de la palabra) y del Análisis. Operando tanto sobre números como sobre letras que representan números, combinándolos mediante diversas operaciones, comparándolos, el álgebra manipula con fórmulas ( que indican las operaciones que hay que realizar con los números y con las letras para llegar al resultado buscado), con ecuaciones (en las que una o más letras designan incógnitas que se trata de hallar), con funciones (en las que los valores que toman una o más de las letras pueden variar de manera que conviene saber describir y estudiar la historia de estas variaciones).

El Análisis Infinitesimal estaba constituido inicialmente por los Cálculos diferencial e integral así como por la Teoría de las ecuaciones diferenciales (en las que se trata de averiguar, no un número desconocido sino una función desconocida). Con posterioridad ha visto ensancharse su campo de acción con la Teoría de las Ecuaciones en Derivadas parciales, después con el estudio de las Ecuaciones integrales y de las Ecuaciones integro-diferenciales, con el Cálculo de Variaciones y por fin con las Ecuaciones funcionales, en las que se trata de hallar una función a partir de ciertas de sus propiedades.

El objeto de la Geometría era la noción de Espacio y ha conocido también muchas generalizaciones: La Geometría clásica estudia la forma y propiedades de las figuras pertenecientes a un espacio métrico euclidiano de tres dimensiones, que no es más que una idealización del espacio que nos sugiere la experiencia rutinaria. Partiendo de esta noción intuitiva, los geómetras han tratado después de un número mayor de dimensiones y, por último de una infinidad de dimensiones. Han considerado también espacios con propiedades diferentes de las del nuestro; espacios afines, proyectivos, riemannianos, etc desembocando estas generalizaciones en los espacios abstractos de un número cualquiera de dimensiones.
La Geometría analítica ha permitido establecer un puente entre, por una parte, la Aritmética y el Álgebra y por otra, la Geometría.
La Geometría infinitesimal ha permitido la aplicación del Análisis infinitesimal al estudio de las figuras del espacio.

Por su parte, el Cálculo de Probabilidades que es la ciencia del azar (o Estocástica) extrae su savia de la ley de la separaciones y de la ley de los grandes números. El aspecto experimental de esta ciencia lo constituye la Estadística que ha invadido la mayoría de las Ciencias y de las técnicas y, entre las más recientes, la Investigación operativa.

Ramas de las matemáticas

 Como se verá más adelante, desde la noción de número, a lo que hoy en día significa la ciencia de la Matemática, se ha ido evolucionando con nuevas teorías dando paso a la aparición de numerosas ramas que se entrelazan y que, en muchas ocasiones se diferencian entre sí, no en la problemática que abordan si no en la forma en que lo hacen; así y aunque resulta difícil hacer una clasificación, se pueden distinguir 5 grandes ramas dentro de las Matemáticas: el Álgebra, el Análisis o Cálculo, la Geometría; la Teoría de las probabilidades y la Estadística.
La temática que aborda cada una de estas áreas se resume en el siguiente esquema:

Álgebra.
Rama de las matemáticas que estudia la cantidad en general, valiéndose de números y letras para representar simbólicamente las entidades manejadas. La palabra de origen árabe Álgebra se suele relacionar con los métodos para la resolución de ecuaciones. Sin embargo, el Álgebra significa mucho más; hoy designa el estudio de las estructuras abstractas con las que intentamos comprender las propiedades de los conjuntos de números y los distintos tipos de funciones. La lógica, que hasta ayer formaba parte esencial de los estudios humanísticos , es actualmente una de las ramas del Álgebra. La síntesis moderna entre la teoría de conjuntos y la lógica simbólica ha revolucionado los fundamentos del pensamiento. Pero, ayer, y hoy, el Álgebra, este "ars Magna" de los matemáticos del Renacimiento, sigue siendo una excelente guía práctica para resolver de una forma sencilla los problemas usuales que se presentan en el quehacer cotidiano y cuya resolución por métodos aritméticos sería mucho más ardua.

Etimología de la Matemática

Etimología

La palabra "matemática" (del griego μαθηματικά, «cosas que se aprenden») viene del griego antiguo μάθημα (máthēma), que quiere decir «campo de estudio o instrucción». El significado se contrapone a μουσική (musiké) «lo que se puede entender sin haber sido instruido», que refiere a poesía, retórica y campos similares, mientras que μαθηματική se refiere a las áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas (astronomía, aritmética).Aunque el término ya era usado por los pitagóricos (matematikoi) en el siglo VI a. C., alcanzó su significado más técnico y reducido de "estudio matemático" en los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Su adjetivo es μαθηματικός (mathēmatikós), "relacionado con el aprendizaje", lo cual, de manera similar, vino a significar "matemático". En particular, μαθηματική τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē; en latín ars mathematica), significa "el arte matemática".

La forma más usada es el plural matemáticas, que tiene el mismo significado que el singular y viene de la forma latina mathematica (Cicerón), basada en el plural en griego τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), usada por Aristóteles y que significa, a grandes rasgos, "todas las cosas matemáticas". Algunos autores, sin embargo, hacen uso de la forma singular del término; tal es el caso de Bourbaki, en el tratado Élements de mathématique (Elementos de matemática), (1940), destaca la uniformidad de este campo aportada por la visión axiomática moderna, aunque también hace uso de la forma plural como en Éléments d'histoire des mathématiques (Elementos de historia de las matemáticas) (1969), posiblemente sugiriendo que es Bourbaki quien finalmente realiza la unificación de las matemáticas.Así mismo, en el escrito L'Architecture des mathématiques (1948) plantea el tema en la sección "Matemáticas, singular o plural" donde defiende la unicidad conceptual de las matemáticas aunque hace uso de la forma plural en dicho escrito. Es importante señalar también que Bourbaki no hace referencia a una sola persona, sino que en realidad consistía de un colectivo de diferentes matemáticos escribiendo bajo un pseudónimo.